Brookside Beauty: Softmax Regression

简介

Softmax回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 $\textstyle y$ 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）

回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 $\textstyle m$ 个已标记的样本构成： $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，其中输入特征 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ 。（我们对符号的约定如下：特征向量 $\textstyle x$ 的维度为 $\textstyle n+1$ ，其中 $\textstyle x_0 = 1$ 对应截距项。）由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 $y^{(i)} \in \{0,1\}$ 。假设函数(hypothesis function) 如下：

$\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}$

我们将训练模型参数 $\textstyle \theta$ ，使其能够最小化代价函数：

$\begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align}$

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 $\textstyle y$ 可以取 $\textstyle k$ 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，我们有 $y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}$ 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 $\textstyle k=10$ 个不同的类别。

对于给定的测试输入 $\textstyle x$ ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 $\textstyle p(y=j | x)$ 。也就是说，我们想估计 $\textstyle x$ 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 $\textstyle k$ 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 $\textstyle k$ 个估计的概率值。具体地说，我们的假设函数 $\textstyle h_{\theta}(x)$ 形式如下：

$\begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

其中 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意 $\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 $\textstyle \theta$ 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 $\textstyle \theta$ 用一个 $\textstyle k \times(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行罗列起来得到的，如下所示：

$\theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix}$

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， $\textstyle 1\{\cdot\}$ 是示性函数，其取值规则为：

 值为真的表达式

， $\textstyle 1\{$ 值为假的表达式 $\textstyle \}=0$ 。举例来说，表达式 $\textstyle 1\{2+2=4\}$ 的值为1 ， $\textstyle 1\{1+1=5\}$ 的值为 0。我们的代价函数为：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}$

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

$\begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}$

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 $\textstyle k$ 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 $\textstyle x$ 分类为类别 $\textstyle j$ 的概率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }$ .

对于 $\textstyle J(\theta)$ 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}$

让我们来回顾一下符号 " $\textstyle \nabla_{\theta_j}$ " 的含义。 $\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 本身是一个向量，它的第 $\textstyle l$ 个元素 $\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$ 是 $\textstyle J(\theta)$ 对 $\textstyle \theta_j$ 的第 $\textstyle l$ 个分量的偏导数。

Reference http://zjjconan.github.io/articles/2015/04/Softmax-Regression-Matlab for how to infer $\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 $\textstyle J(\theta)$ 。例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ ( $\textstyle j=1,\ldots,k$ ）。

当实现 softmax 回归算法时，我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 $\textstyle \theta_j$ 中减去了向量 $\textstyle \psi$ ，这时，每一个 $\textstyle \theta_j$ 都变成了 $\textstyle \theta_j - \psi$ ( $\textstyle j=1, \ldots, k$ )。此时假设函数变成了以下的式子：

$\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}$

换句话说，从 $\textstyle \theta_j$ 中减去 $\textstyle \psi$ 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 $\textstyle h_\theta$ 。

进一步而言，如果参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代价函数 $\textstyle J(\theta)$ 的极小值点，那么 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi)$ 同样也是它的极小值点，其中 $\textstyle \psi$ 可以为任意向量。因此使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 $\textstyle J(\theta)$ 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 $\textstyle \psi = \theta_1$ 时，我们总是可以将 $\textstyle \theta_1$ 替换为 $\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$ （即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $\textstyle \theta_1$ （或者其他 $\textstyle \theta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 $\textstyle k\times(n+1)$ 个参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}$ ），我们可以令 $\textstyle \theta_1 = \vec{0}$ ，只优化剩余的 $\textstyle (k-1)\times(n+1)$ 个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$ ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项 $\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}$

有了这个权重衰减项以后 ( $\textstyle \lambda > 0$ )，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为 $\textstyle J(\theta)$ 是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 $\textstyle J(\theta)$ 的导数，如下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align}$

通过最小化 $\textstyle J(\theta)$ ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为：

$\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}$

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 $\textstyle \psi = \theta_1$ ，并且从两个参数向量中都减去向量 $\textstyle \theta_1$ ，得到:

$\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

因此，用 $\textstyle \theta'$ 来表示 $\textstyle \theta_2-\theta_1$ ，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $\textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，另一个类别概率的为 $\textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数

k = 4

的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数

k

设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

Practical issues: Numeric stability. When you’re writing code for computing the Softmax function in practice, the intermediate terms

e^{f_{y_{i}}}

and

\sum_{j} e^{f_{j}}

may be very large due to the exponentials. Dividing large numbers can be numerically unstable, so it is important to use a normalization trick. Notice that if we multiply the top and bottom of the fraction by a constant

C

and push it into the sum, we get the following (mathematically equivalent) expression:

e f y i \sum j e f j = C e f y i C \sum j e f j = e f y i + log C \sum j e f j + log C

We are free to choose the value of

C

. This will not change any of the results, but we can use this value to improve the numerical stability of the computation. A common choice for

C

is to set

\log C = - max_{j} f_{j}

. This simply states that we should shift the values inside the vector

f

so that the highest value is zero. In code:

f = np.array([123, 456, 789]) # example with 3 classes and each having large scores
p = np.exp(f) / np.sum(np.exp(f)) # Bad: Numeric problem, potential blowup

# instead: first shift the values of f so that the highest number is 0:
f -= np.max(f) # f becomes [-666, -333, 0]
p = np.exp(f) / np.sum(np.exp(f)) # safe to do, gives the correct answer

Brookside Beauty

Sunday, November 27, 2016

Softmax Regression

代价函数

Softmax回归模型参数化的特点

权重衰减

Softmax回归与Logistic 回归的关系

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

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